La linea retta è davvero la via più rapida?

Simulazione

Cicloide

Grafico

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Piano inclinato vs Brachistocrona

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Il tragitto più corto è anche il più veloce?

Come accade nei navigatori, che distinguono tra il percorso più breve e quello più rapido, anche la fisica ci mette davanti a un dilemma analogo. Immaginiamo due punti, uno più alto dell’altro e non allineati verticalmente. Vogliamo portare un corpo dal punto superiore a quello inferiore nel minor tempo possibile, sfruttando solo l’accelerazione di gravità e ignorando l’attrito.

Il piano inclinato sembra la scelta più ovvia: è il percorso più corto. Ma sarà anche il più veloce? La risposta potrebbe sorprenderci. Esiste infatti una curva — la brachistocrona, una cicloide che ricorda un arco di circonferenza — lungo la quale il corpo impiega meno tempo a scendere, pur percorrendo una distanza maggiore.

Questa animazione confronta il tempo di discesa lungo un piano inclinato con quello lungo la brachistocrona, mostrando come la “strada più lunga” possa essere, contro intuitivamente, la più rapida.

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PS
La cicloide (ordinaria) è la curva descritta da un punto di una circonferenza la quale rotola senza strisciare su una retta che possiamo immaginare orizzontale. Clicca su "Cicloide" per vedere l'animazione.
E come varia il rapporto tra i tempi di discesa al variare dell'angolo di discesa? Clicca su "Grafico" per vedere l'andamento del rapporto in un range di inclinazioni.

Altezza iniziale (m): Distanza orizzontale (m):

Angolo iniziale (°): Angolo finale (°): Numero intervalli:

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Per angoli con pendenze uguali, indipendenti cioè dalla lunghezza del tratto di percorrenza del piano inclinato, il rapporto del tempo tra discesa su un piano inclinato e discesa con la brachistocrona resta identico.

Consideriamo, ad esempio, il tempo di una sfera per scendere lungo un piano inclinato con un dislivello di 20 m per uno spostamento di 30 m; il rapporto è uguale a 1,174136 (dal rapporto 3,640300/3,100407). Ma anche la discesa su un piano con un dislivello di 4 m e uno spostamento di 6 m produce lo stesso rapporto con (1,627992/1,386544) perché l’angolo descritto è lo sempre lo stesso: 33,69°.

In generale possiamo trarre alcune conclusioni confrontando il rapporto tra il tempo impiegato con il piano inclinato e quello della brachistocrona in relazione dell’inclinazione in gradi.
Per valori di gradi molto piccoli (< 0,07°) la variazione del rapporto è molto rapida e il confronto tra piano inclinato e brachistocrona è clamorosamente a favore di quest’ultima.
Con un valore dell’angolo ≥ 5° si passa da una fase di rapido decremento a un regime che plana più rapidamente, tendendo asintoticamente a 1.
In questo contesto, ogni ulteriore aumento in gradi produce solo variazioni marginali nel rapporto dei tempi tra le due discese andando verso un limite inferiore raggiunto dal confronto stesso.