La forza di gravità

 Sicuramente una delle sensazioni più importanti che ci condiziona tutta la vita è quella provocata dagli effetti della forza di gravità.

L’aspetto attrattivo della forza gravitazionale è la sua peculiarità. Quando contrastiamo tale forza dobbiamo impegnarci a fondo, utilizzando un’energia supplementare. È quello che facciamo quando camminiamo in salita, ci arrampichiamo su una corda oppure lanciamo un sasso.

  L’intensità del campo gravitazionale tra due corpi è descritta dalla relazione F = (Gmm’)/d² dove G è la costante di gravitazione universale che vale 6,6720*10^-11 Nm²kg^-2, d è la distanza tra i due centri di massa e m e m’ sono le masse dei corpi. [1]

  Le masse della Terra e della Luna sono, rispettivamente 5,98 *10²⁴ kg e 7,35*10²² kg, la forza gravitazionale tra la Terra e la Luna, la sua intensità, è allora di circa 1,98*10²⁰ newton. [2]

  La forza gravitazionale è di tipo attrattivo e si manifesta attraverso una accelerazione che può essere quantificata. Tutti i corpi sono soggetti alla stessa attrazione gravitazione – alla stessa accelerazione – da parte di una massa secondo la relazione g = GM/r². [3]

  Un corpo posto ad 1 m dalla superficie è attratto dalla Terra con una forza di 9,8 newton ovvero la forza gravitazionale della Terra imprime, a qualsiasi oggetto, un’accelerazione di 9,8 m/s². L’accelerazione che i corpi subiscono a seguito dell’attrazione terrestre è indipendente dalla massa del corpo; un oggetto con massa 2 kg viene sì attratto con intensità doppia rispetto ad un corpo con massa 1 kg ma oppone anche una resistenza due volte superiore, così come un oggetto di 3 kg viene attratto con intensità tripla, ma ha anche una resistenza tre più grande.[4]

  Naturalmente se consideriamo due corpi, uno con massa molto maggiore rispetto all’altro, è possibile considerare – per i nostri calcoli – solo l’attrazione del corpo che determina la forza più evidente. [5]

  Quando trattiamo la forza gravitazionale assumiamo che essa sia concentrata tutta nel suo centro di massa, come cioè se questa fosse concentrata in un particolare punto che, nel caso di corpi simmetrici (o assunti come tali), coincide con il centro geometrico. Similmente, due corpi che si attraggono (o, a maggior ragione, gravitino l’uno attorno all’altro) definiscono un centro di gravità comune che è in relazione con la loro massa. [6]

  È necessario fare una precisazione sui termini massa e peso perché, spesso, usiamo tali termini come sinonimi.

  La massa di un corpo è la sua inerzia, la resistenza al cambiamento rispetto al suo stato (di moto o di quiete) mentre il peso, la forza-peso, è la forza che un campo gravitazionale (terrestre, lunare, etc.) esercita sulla massa del corpo.[7] La massa è dunque localmente invariante al contrario del peso che dipende dall’interazione gravitazionale tra due oggetti dotati di massa (ed è, appunto diversa sulla Terra e sulla Luna – un uomo di 100 kg terrestri sulla Luna pesa circa 16,6 kg – ma è addirittura diversa sulla superficie terrestre (al livello del mare rispetto alla montagna) perché varia l’accelerazione di gravità. In conclusione, la massa è espressa in kg e il peso, che è una forza, dovrebbe essere espresso in newton: una massa di 1 kg “pesa” 9,8 newton, una massa di 2 kg pesa 19,6 newton… Ma quale reazione potrebbe avere una persone alla quale comunicate che non pesa 100 kg ma che esercita sul pianeta una forza di 980 newton?

  Concentriamoci ora sul lancio di un sasso. Quando lo tiriamo, per quanta forza possiamo mettere nel nostro braccio, dopo pochi secondi tornerà sul terreno. Solo per alcuni istanti riusciamo dunque a competere con la forza gravitazionale la quale, agendo incessantemente, alla fine, vince.

  È però possibile osservare che l’energia impressa al sasso sarà proporzionale alla sua velocità e, conseguentemente, allo spazio percorso lontano dal suolo. Ipotizziamo di lanciarlo parallelo al terreno per una distanza abbastanza lunga; in questo caso, se la velocità del sasso fosse sufficiente, da un lato la forza di gravità tende ad attrarlo ma, poiché la Terra curva sotto di esso, la sua distanza dal terreno potrebbe rimanere costante: il sasso entrerebbe in orbita nei confronti della Terra.

  Ma quale velocità deve avere un sasso per entrare in orbita rispetto alla Terra? Trascurando la resistenza dell’aria tale velocità dipende dalla massa del corpo attorno al quale si descrive l’orbita e dal raggio dell’orbita stessa secondo la relazione v = Ö(GM/r) dove G è la costante di gravitazione universale, M la massa corpo e r il raggio dell’orbita. Nel caso di un in orbita ad 1 m di altezza attorno alla Terra otteniamo un valore di Ö((6,6720*10^-11 Nm²kg-²)*(5,98*10²⁴ kg)) / (6,38*10⁶ m ) cioè 7.908 m/s, 28.469 km/h!

  Possiamo anche chiederci quale è invece la velocità minima da imprimere ad un corpo affinché questi abbandoni l’orbita terrestre, la velocità minima che permette ad un qualsiasi oggetto di vincere per sempre la forza gravitazionale generata da una massa. Tale velocità, detta velocità di fuga, è riassunta dalla relazione Ö2GM/r che, nel caso della Terra, risulta essere Ö(2*6,6720*10^-11 Nm2kg^-2)*(5,977*10²⁴ kg) / (6,38*10⁶ m) cioè 11.184 m/s (40.261 km/h) a livello dell’equatore. [8]

  La velocità di fuga è la velocità minima iniziale alla quale un oggetto deve muoversi per allontanarsi indefinitamente da una sorgente di campo gravitazionale (non considerando altri fattori come l’attrito dell’aria). [9]

  L’idea è quella che presuppone di sparare un oggetto nello spazio, come se fosse un proiettile, con una spinta iniziale intensissima tale da produrre, per l’oggetto, la velocità di fuga. Naturalmente un razzo che si allontana da una sorgente gravitazionale non ha bisogno di raggiungere la velocità di fuga perché sospinto continuamente da un adeguato sistema di propulsione.

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[1] È la massa gravitazionale. Massa inerziale e massa gravitazionale saranno trattate nel prossimo post dedicato alla Relatività Generale. 

[2] L’accelerazione espressa in m/s² per la massa di 1 kg indica la forza in newton; un newton è allora forza che imprime un’accelerazione di 1 m/s2 alla massa di 1 kg. In assenza di altri campi gravitazionali esterni due corpi del peso di un chilogrammo ciascuno posti alla distanza di un metro esercitano, tra loro, una forza di 6,672*10^-11 newton; alla distanza di un metro, due oggetti considerati puntiformi, per esercitare la forza di un newton, devono avere ciascuno una massa di circa 122.474 kg.

[3] È consuetudine indicare, per un pianeta o un corpo celeste, la sua gravità alla superficie.

[4] (6,672*10^-11 Nm²kg^-2)*(5,98*10²⁴ kg) / (6,38*10⁶ m)² = 9,8 newton; in altre parole la Terra esercita, su un corpo con una massa pari a 0,102 kg, una forza di 1 newton.  Tutti i corpi, se lasciati cadere da una certa altezza, avranno una velocità istantanea di 9,8 m/s dopo 1 s, di 19,6 m/s dopo 2 s, di 68,6 m/s dopo 7 s e di 98 m/s (352,8 km/h) una volta trascorsi 10 s: sulla Terra un oggetto che cade aumenta la sua velocità di 9,8 m/s ogni secondo (nella realtà, per oggetti particolarmente leggeri, si deve considerare la resistenza dell’aria poiché, ad un certo punto, tale resistenza costringerà l’oggetto ad essere attratto a velocità costante detta velocità limite o di regime). Volendo possiamo anche conoscere il tempo impiegato, la velocità istantanea e l’energia sviluppata da un corpo che cade dall’altezza di 1 m; il tempo, descritto dalla relazione, Ö2s/g (oppure v/g) è di 0,4518 s; la velocità istantanea è una funzione del tempo attraverso la relazione v = gt sarà di 4,4 m/s (evidentemente lo spazio è definito dalla relazione ½ gt2 e la velocità media sarà = spazio/tempo così, un corpo, dopo 1 s di caduta libera avrà sì una velocità istantanea di 9,8 m/s  ma una velocità media di 4,9 m/s).

[5] Nel caso della Terra e di un sasso con massa di 1 kg anche il sasso attrae la Terra ma la differenza di massa è sbilanciata di 5,98*1024 volte e l’attrazione è, in questo caso, davvero irrilevante così come l’attrazione tra due uomini del peso di 100 kg posti ad 1m di distanza è quasi 15 milioni di volte inferiore rispetto all’attrazione che subiscono dalla Terra. La forza con cui la Terra attrae il sasso è la stessa con la quale il sasso attrae la Terra ma, quest’ultima, ha un’inerzia incredibilmente più grande il risultato è che la Terra produce una accelerazione di 9,8 m/s² e il sasso produrrà un’accelerazione proporzionale a 1*9,8/ 5,98*10²⁴ = 1,64*10^-24 m/s².  Analogo risultato si può ottenere considerando che l’accelerazione è data, in generale, dalla massa del corpo secondo la relazione g = GM/r² (e risolvendo questa equazione per la Terra si ottiene sempre un valore di 9,8 m/s²).

[6] Il raggio della Terra all’equatore vale 6.380 km, quello della Luna 1.737 km mentre la distanza tra il centro della Terra e il centro della Luna è di  384.400 km. La Terra rappresenta il 98,7858% delle masse dei due corpi e il centro di gravità Terra-Luna risulterà spostato della stessa percentuale a favore della Terra e sarà dunque distante 384.400 * 98,7858% = 379.733 km dal centro della Luna a favore della Terra (a 4.667 km dal centro di quest’ultima circa 1.700 km sotto la superficie terrestre).

[7] Concettualmente la massa si determina, si misura, con una bilancia a braccia e piatti uguali; quando le due masse sui due piatti sono identiche i piatti saranno allo stesso livello e la quantità di massa che controbilancia la massa da determinare sarà uguale sulla Terra e sulla Luna. Il peso si determina con il dinamometro misurando la forza di richiamo della molla (si misura la deformazione di un materiale elastico – che è direttamente proporzionale alla forza applicata al materiale stesso – parallela al vettore forza da misurare; alla forza peso si contrapporrà la forza elastica della molla). La molla deve essere opportunamente tarata in modo che alla forza 1 newton corrisponda una massa di 0,102 kg.

[8] La velocità di fuga dal Sole è di 617 km/s mentre quella di Mercurio è di 4,4 km/s

[9] La velocità di fuga diminuisce all’aumentare dalla distanza dalla superficie terreste. Ad una distanza pari a 4 volte il raggio terrestre, 25.520 km  (dal centro della Terra) la velocità di fuga risulta dimezzata rispetto a quella della superficie. Poiché la forza di gravità diminuisce con il quadrato della distanza posto come uguale a 1 la velocità di fuga della superficie terrestre la nuova velocità di fuga sarà v = 1/Ö(d/6.380) km/s (es. 1/Ö ( 25.520/6380) =  1/Ö 4 = 0,5 rispetto a quella della superficie terrestre. Stesso discorso vale per definire la velocità che permette ad un oggetto di entrare in orbita.