Prologo: più di 2000 anni fa
In un particolare giorno dell’anno Eratostene aveva notato che nella città di Siene, l’attuale Assuan, quando il Sole era a mezzogiorno non c’erano ombre.
Assuan si trova infatti sul tropico del Cancro e a quella latitudine, a causa dell’inclinazione terrestre, nel solstizio d’estate i raggi solari cadono perpendicolarmente al terreno;
il Sole è allo zenit e non produce nessuna ombra. Ciò accade però soltanto durante il solstizio d’estate, in prossimità del 21 giugno per le località che si trovano sul tropico del Cancro
(emisfero Nord) e attorno al 21 dicembre per località che si trovano sul tropico del Capricorno (emisfero Sud); la situazione si ripete invece due volte l’anno all’equatore,
nei giorni degli equinozi. La lunghezza dell’ombra a mezzogiorno varia dunque a seconda delle stagioni e della latitudine. In altre parole, tutti i giorni dell’anno il Sole sarà a picco
in luoghi diversi purché compresi tra i due tropici.
Se un bastone conficcato nel terreno non produceva ombra a Siene di contro, nella città di Alessandria – sullo stesso meridiano ma più a Nord – l’ombra rilevata era di 0,126 m.
Eratostene proseguì stimando anche la distanza tra Siene e Alessandria in circa 800 km.
L’unità di misura usata in Grecia era lo stadio attico, corrispondente alla lunghezza di un’arena sportiva, circa 157,5 m. Pare che il grande matematico e astronomo determinò quanto ricercato
attraverso la percorrenza media giornaliera di una carovana di cammelli a un’andatura costante: 100 stadi al giorno. Poiché una carovana impiegava 50 giorni per percorrere il tragitto tra
Alessandria e Siene, la distanza era di circa cinquemila stadi.
Non si vuole qui sindacare nè come si fece a determinare la distanza tra le due città e neppure si desidera criticare la rilevazione della lunghezza dell'ombra
perché l’errore insito nelle misurazioni potrebbe mettere in crisi la precisione sulla stima finale del valore della circonferenza terrestre, a meno di una fortuita coincidenza. In effetti sottostimando sia la misura dell'ombra sia la distanza tra le due città gli errori si sono compensati. In ogni caso le due località, in realtà, non sono sullo stesso meridiano e non potrebbero essere prese come riferimento.
Quando si cità "Eratostene e la misura della circonferenza della Terra" si traducono le misure in gradi: ma Eratostene usava, come unità di misura degli angoli, le corrispondenti frazioni della circonferenza... In questo senso si vuole approfondire se per la misurazione dell'ombra fosse stato indispensabile l'utilizzo dello strumento indicato con il nome di sciothericon oppure se fosse stata sufficiente la misura lineare.
Il fascino di un esperimento semplice per un problema complesso. E di una verifica che può essere ripetuta più volte correlandola a un semplice e quanto mai efficace modello.
Un bastone da 1 metro di raggio descrive una circonferenza di 6,26 m e 0,126 m ne rappresentano circa 1/50: è sufficiente moltiplicare 800 km per 50 e si ottiene 40.000 km che è molto vicino al
valore reale! I presupposti sono che la Terra abbia una forma sferica, che la distanza del Sole sia così ampia da considerare i suoi raggi come paralleli e, infine, che l’angolo di
inclinazione dei raggi solari ad Alessandria sia uguale all’angolo che si ottiene unendo i due raggi dal centro della Terra ai punti sulla circonferenza della Terra corrispondenti a Siene e ad Alessandria.
Oggi trasformiamo la misura dell'ombra in gradi costruendo un triangolo rettangolo e, all'occorrenza, usiamo la trigonometria. In uno stesso giorno è stata dunque misurata l’ombra in una città
rispetto a un’altra, necessariamente sullo stesso meridiano; in una città non c'era ombra mentre, nell'altra, la stessa pemetteva di definire un angolo di circa 7,2 gradi tra la congiungente
della cima del bastone e la fine della sua ombra (in pratica l’angolo tra l’ipotenusa e il cateto minore del triangolo che si viene a formare).
Se tra Siene e Alessandria c’è una distanza di 800 km e questa rappresenta 7,2 gradi su 360 gradi, è sufficiente moltiplicare il valore di 800 per il coefficiente che si ottiene dividendo
360 gradi per 7,2 gradi. Il risultato è 40.000 km contro un valore attuale (medio) di 40.008: non è incredibile?
Eratostene 2.0
1) ISTRUZIONI PER L'UTILIZZO:
Seleziona una coppia di località dal menu a tendina. Il simulatore caricherà la distanza reale e imposterà le ombre teoriche predefinite per uno gnomone da 1 metro (puoi modificare le misurazioni
per fare delle simulazioni), quindi clicca su 'Elabora Modello Geometrico' per visualizzare/confrontare i risultati.
2) CONSIGLIO:
La simulazione è già preimpostata su quella riferita ad Alessandria d'Egitto -> Assuan (Siene); clicca su 'Elabora Modello Geometrico'. Si visualizzeranno due tipi di calcolo che forniscono una stima della circonferenza terrestre simile. C'è però 'Alert': ⚠️ Queste due città non sono allineate perfettamente lungo una linea Nord-Sud (hanno 3° di scarto). Per non falsare il calcolo di Eratostene, il simulatore non usa la distanza reale in "diagonale", ma solo la distanza effettiva calcolata da Nord a Sud (791.5 km).
3) NOTA TECNICA 1: Perchè due tipi di calcolo?
Ci sono due tipi di calcolo perchè c'è una sostanziale differenza tra la proiezione dell'ombra su un piano e su una mezza sfera incavata. La differenza fondamentale sta nel fatto che lo
sciothericon mantiene una relazione lineare diretta tra la lunghezza dell'arco d'ombra e l'angolo del Sole, mentre il piano piatto distorce questa relazione. In pratica:
• Sulla superficie curva (mezza sfera perfetta) lo stilo è posizionato al centro, la distanza tra la punta dello stilo e qualsiasi punto della parete interna è sempre la stessa (è il raggio
R). Quando l'angolo del Sole varia, l'ombra si muove lungo una traiettoria circolare. La lunghezza dell'arco d'ombra descritto sulla ciotola cresce in modo perfettamente proporzionale
all'angolo: se l'angolo raddoppia, l'arco d'ombra raddoppia.
• Sulla superficie piatta (piano) man mano che il Sole si abbassa, la distanza tra la punta dello stilo e il terreno piatto aumenta. La luce deve compiere un percorso più lungo per toccare
terra. Questo stiramento fa sì che l'ombra piatta non cresca in modo proporzionale all'angolo, ma segua una funzione geometrica chiamata tangente. Più il Sole è basso, più l'ombra piatta
si allunga disperatamente verso l'infinito.
4) NOTA TECNICA 2:Questa differenza è influenzata direttamente/indirettamente dalla latitudine?
La differenza (ovvero l'errore di distorsione del piano piatto rispetto sullo sciothericon) aumenta drasticamente all'aumentare della latitudine (cioè spostandosi verso i poli).
All'Equatore (o dove il Sole è molto vicino allo zenit), l'angolo dei raggi solari rispetto alla verticale è piccolissimo. Per angoli molto piccoli, una linea retta (il piano) e una
linea curva (sciothericon) si sovrappongono quasi perfettamente. Ecco perché se selezioniamo Port Said -> Siene/Assuan i risultati sono quasi sovrapponibili.
Quando invece ci spostiamo a latitudini elevate (come l'Europa del Nord o i poli), il Sole è permanentemente più basso sull'orizzonte. Gli angoli rispetto allo zenit diventano grandi
(30°, 50°, 70°). A queste inclinazioni, la discrepanza tra l'ombra piatta (che esplode in lunghezza) e l'arco dello scafile diventa gigantesca. Ma già selezionando una coppia qualsiasi
tra le località italiane indicate la sottostima considerando la misura lineare è dal 7,5% al 13,5%.
5) DIFFERENZA TRA MISURA LINEARE E SCAFILE:
Il calcolo lineare (piano) presuppone erroneamente che la differenza tra le lunghezze delle ombre sia proporzionale in modo rettilineo alla distanza tra le città. Lo Scafile (Flat-to-Curve)
applica invece una correzione trigonometrica inversa (K = atan(ombra)/ombra), convertendo le proiezioni piatte in archi sferici effettivi, i soli capaci di descrivere la reale curvatura del
meridiano terrestre.Sono stati introdotti dei Coefficienti di Correzione Latitudinale (K).
6) PERCHÉ LA DATA DEL 21 GIUGNO:
Viene scelto il Solstizio d'Estate perché riproduce la logica geometrica originaria di Eratostene. In questo giorno la declinazione solare raggiunge il massimo (+23,45°), i raggi sono i più
verticali possibili nell'emisfero nord e le ombre sono le più corte dell'anno. Questo riduce al minimo l'errore di lettura millimetrica sul terreno.
7) CONCLUSIONE: IL METODO DI ERATOSTENE È CORRETTO?
Il metodo di Eratostene è correttissimo! Lo dimostrano tutte le coppie delle località italiane prescelte oltre che la coppia Port Said -> Siene/Assuan. In questo ultimo caso la misurazione
può essere fatta anche semplicemente con calcolo lineare mentre per la coppia Alessandria d'Egitto -> Siene/Assuan si è dovuto utilizzare la distanza come se le due località fossero sullo stesso meridiano. In ogni caso, quanto più si sale oltre una latitudine di 30° tanto più la rilevazione dovrà essere resa coerente con una rilevazione tipo sciothericon.
Simulatore Geodetico per il Calcolo della Circonferenza Terrestre
Seleziona una tratta per vedere i dettagli geodetici.
Output Elaborazione Dati
Coefficienti di Correzione Latitudinale
Comune Nord: --
Comune Sud: --
Calcolo Lineare
(Senza correzione d'ombra)
-- km
Scarto: --
Calcolo Corretto
(Scafile Flat-to-Curve)
-- km
Scarto: --
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