Una nuova fisica: la meccanica quantistica

 La spiegazione del meccanismo di emissione della radiazione elettroma-gnetica da parte dei corpi è risolta ipotizzando la quantizzazione dell’e-nergia; i processi legati all’irraggiamento termico sono chiariti in modo soddisfacente solo attraverso trasferimenti non continui, ma discreti, di energia.

 Conservando i risultati coerenti con le osservazioni sperimentali delle relazioni che legano rispettivamente l’emissione della massima energia ad una precisa lunghezza d’onda e la proporzionalità dell’intensità della radiazione emessa alla quarta potenza della temperatura l’ipotesi dei quanti di radiazione (M. Planck nel 1900), secondo la quale l’energia può essere acquistata o emessa dai sistemi solo come multiplo intero di una quantità discreta definita appunto quanto, rende magnificamente conto alle osservazioni sperimentali. Il fenomeno dell’irraggiamento è dovuto agli elettroni che possono emettere o assorbire energia unicamente in quantità proporzionale alla frequenza f secondo una costante h, la costante di Planck, pari a 6,62*10^-34 joule per secondo [1], che lega dunque l’energia di un quanto di radiazione alla sua frequenza:

E = h f

Oppure:

E = hc/l

  L’energia di un fotone dei raggi X risulta così essere 50.000 volte superiore a quella di un fotone della luce visibile giacché la sua frequenza è 50.000 volte superiore.[2]

  A temperatura costante l’intensità della radiazione emessa da un corpo aumenta rapidamente fino a un valore massimo per poi decrescere più lentamente. [3]

  Il legame h f spiega anche un’altra questione ancora aperta da tempo. Era già noto alla fine dell’800 che la superficie di un metallo irradiata con raggi ultravioletti emette elettroni (H.R. Hertz, 1887; W.L.F. Hallwachs, 1888; P.E.A. von Lenard, 1899). [4]

  Ciò significa che l’energia della luce si è in parte trasformata nell’energia cinetica degli elettroni espulsi dal metallo dando luogo al cosiddetto effetto fotoelettrico. E, contrariamente a quanto si potrebbe ipotizzare, all’aumentare dell’intensità della radiazione non coincide una maggior energia degli elettroni, ma solo un loro maggior emissione in termini di numero. In effetti, se la luce fosse un’onda la forza di espulsione degli elettroni dal metallo dovrebbe dipendere dalla sua intensità e non dalla sua frequenza mentre, di contro, quello che aumenta la velocità degli elettroni emessi è proprio la frequenza della radiazione incidente. La luce blu conferisce maggior velocità agli elettroni rispetto, ad esempio, alla luce gialla. Una debole intensità della luce blu causa una minor emissione nel numero di elettroni rispetto ad una luce molto intensa di colore giallo, ma la loro velocità è sempre superiore. La luce rossa, poi, non provoca, in alcuni metalli, l’emissione di elettroni. Per ogni metallo esiste una frequenza di soglia al di sotto della quale l’effetto fotoelettrico non ha luogo (per il potassio, ad esempio, la luce rossa non consente l’emissione di elettroni e la frequenza di soglia è nel verde). Se, invece, la frequenza è maggiore della frequenza di soglia, la velocità degli elettroni emessi aumenta proporzionalmente alla differenza tra la frequenza della radiazione incidente e la frequenza di soglia.

  La descrizione ondulatoria della luce non riesce a dare una spiegazione soddisfacente all’effetto fotoelettrico. Perché, ad una radiazione più intensa, non corrisponde una maggior energia cinetica degli elettroni emessi? Quale legame esiste cioè tra frequenza della radiazione incidente e l’energia degli elettroni?

  L’effetto fotoelettrico può essere spiegato ammettendo che la luce sia composta da grani di energia E = hf  (A. Einstein, 1905): sì, proprio gli stessi quanti di luce che spiegano la radiazione del corpo nero. Se la luce si propaga attraverso grani di energia, definiti successivamente fotoni (G. Lewis, 1926; V Congresso Solvay, 1927), gli elettroni del metallo o assorbono esattamente un fotone, sufficiente a superare l’energia di soglia per essere così espulsi, oppure è inutile aumentare l’intensità della radiazione incidente perché si aumenta il numero di fotoni inviati al metallo, ma non la loro energia. Se, viceversa, si supera la frequenza di soglia, il numero di elettroni emessi sarà tanto maggiore quanto più intensa è la radiazione incidente. E aumentando ancora la frequenza della radiazione incidente aumenterà ulteriormente l’energia degli elettroni emessi.

  L’unità hf, introdotta inizialmente per rendere conto allo spettro di emissione del corpo nero, non è allora un mero artificio di calcolo perché trova nell’effetto fotoelettrico, cioè nella teoria quantistica della luce, un significato fisico più preciso: la luce ha un comportamento tipico dei corpuscoli! Questo aspetto è definitivamente confermato dall’effetto Compton (A.H. Compton, 1923) che si manifesta quando un fascio monocromatico di raggi X con una determinata frequenza (e, a maggior ragione, di raggi g) colpisce della grafite e viene, in parte, diffuso con una lunghezza d’onda maggiore rispetto a quella incidente.

  Se la luce fosse considerata un fenomeno esclusivamente ondulatorio l’onda che colpisce la grafite dovrebbe avere la stessa frequenza dell’onda diffusa ma, di contro, nelle rilevazioni sperimentali è possibile osservare due distinti picchi corrispondenti sia alla lunghezza d’onda originaria sia a una lunghezza d’onda maggiore. Solo assegnando al fotone anche un impulso (una quantità di moto), pensando cioè alla radiazione come ad un fenomeno corpuscolare, si spiega la diffusione dei raggi X con una la variazione della loro lunghezza d’onda, dovuta alla cessione di energia nella collisione con elettroni. Il fenomeno può essere così spiegato perché la radiazione, composta da fotoni, si comporta proprio come una particella e, quando il fotone colpisce un elettrone degli atomi della grafite, produce un urto elastico che obbedisce al principio di conservazione dell’energia e della quantità di moto. Nell’urto, il fotone devia dalla direzione originale secondo un certo angolo cedendo parte della sua energia all’elettrone che inizia a muoversi nella direzione opposta. E proprio perché il fotone lascia parte della sua energia all’elettrone, dovrà essere diffuso con una lunghezza d’onda maggiore di quella incidente (esattamente come rilevato sperimentalmente) giacché la sua energia è inversamente proporzionale alla sua lunghezza d’onda.

  In conclusione, è considerando il dualismo onda-corpuscolo della radiazione elettromagnetica che si spiegano i fenomeni legati alla sua interazione con la materia.

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[1] Per quantificare l’energia è possibile utilizzare come unità di misura il joule (J). Più in specifico il joule è l’unità di misura dell’energia, del lavoro e del calore con dimensione kg*m2/s2. Un joule è il lavoro svolto esercitando la forza di un Newton per una distanza di un metro (1 N*m; è cioè il lavoro compiuto da 1 Newton quando il suo punto di applicazione si sposta di 1 m nella direzione e nel verso della forza stessa; un Newton è la forza che imprime un’accelerazione di 1 m/s² alla massa di 1 kg cioè l’energia necessaria per spostare di 1 metro il punto di applicazione di una forza ovvero

un joule è il lavoro richiesto per sollevare una massa di 102 g per un metro, opponendosi alla forza di gravità terrestre. Un joule è anche il lavoro necessario per erogare la potenza di un watt per un secondo, (=1 W*s).

Poiché il lavoro di una forza, che si esprime in joule, aumenta l’energia cinetica del corpo al quale è applicata, anche l’energia cinetica può essere espressa in joule. È facile calcolare l’energia cinetica dei corpi se esprimiamo la loro massa in kg e la loro velocità in m/s. Un joule equivale all’energia cinetica (½mv²) di un sasso della massa di 0,5 kg che viaggia alla velocità di 2 m/s (la velocità alla quale cammina normalmente un uomo) ovvero una massa di 1 kg con velocità di 1 m/s esprime una energia cinetica di 0,5 J. Similmente, un corpo di 1 kg che si muove alla velocità di 3 m/s ha un’energia cinetica (½mv2) di ½*1*3² cioè 4,5 joule; similmente un corpo con massa 10 kg che si muove con una velocità di 1 m/s ha un’energia cinetica di 5 joule mentre un sasso con massa di 0,100 kg che viaggia alla velocità di 10 m/s oppure l’energia di un corpo con massa di 1 kg che viaggia ad una velocità di 1,42 m/s hanno un’energia cinetica di 1 joule.

[2] La frequenza dei raggi X è di 3*10¹⁹ Hz con una energia di 1,9875*10^-14 J  mentre la luce visibile ha una frequenza di 6*10¹⁴ Hz e l’energia di un fotone è di 3,975*10^-19 J.

[3] L’equazione dell’irraggiamento termico è descritta dalla relazione (8phc2/λ5)*(1/(ehc/λkT -1)) dove e rappresenta il numero di Eulero uguale a 2,71828..., k è la costante di Boltzmann pari a  1,38*10^-23 JK^-1, T  la temperatura del corpo espressa in gradi kelvin, λ è la lunghezza d’onda della radiazione e h la costante di Planck. La formula è stata qui riportata perché ha segnato la nascita di una nuova fisica, la meccanica quantistica, ma anche per dare la possibilità di costruire con Excel un grafico dell’andamento dell’emissione.

[4] Una placca di zinco bombardata con radiazione ultravioletta si caricava cioè elettricamente.

La luce e le onde elettromagnetiche

In questo post troverete qualche formula. L'invito è quello di provare ad applicarle per eseguire dei calcoli, magari con l'aiuto di un foglio Excel (e se la cosa è difficoltosa è meglio spezzarla in più parti svolgendo prima tutto quello che è al numeratore, poi tutto quello che è al denominatore e, una volta ottenuti i due risultati, proseguire con la divisione). Le note a piè pagina contrassegnate dai numeri 7, 8 e 9 sono disponibili su richiesta così da non appesantire eccessivamente la lettura. 
  

  La luce è stata argomento di vivaci discussioni sia nel mondo dei filosofi sia in quello dei fisici. Nel XVII secolo all’ipotesi della sua natura corpuscolare (I. Newton, 1666) si contrappone quella ondulatoria (C. Huygens, 1678), che meglio spiega il fenomeno della rifrazione.

  Facendo passare la luce bianca attraverso un prisma di vetro – evidenziando cioè il fenomeno dell’arcobaleno – si è scomposta la luce bianca nei colori che la compongono partendo dal violetto, con lunghezza d’onda più corta e terminare con il rosso, con lunghezza d’onda più grande (I. Newton 1672).

  Due famosi esperimenti confermano come propri della luce il fenomeno dell’interferenza (T. Young, 1801) e della diffrazione (A.J. Fresnel, 1818) assegnandogli così definitivamente una natura di tipo ondulatorio.

 Più in generale è stata sviluppata la teoria portante sulla propagazione della luce e delle onde elettromagnetiche; la forza elettrica e la forza magnetica sono, appunto, diversi aspetti di un’unica forza, la forza elettromagnetica (J.C. Maxwell, 1873), che è stata verificata sperimentalmente (H. R. Hertz, 1888).

  La velocità di queste onde nel vuoto risulta essere finita, come ipotizzato quasi due secoli prima (O.C. Römer, 1675), e uguale a quella della luce che, sempre nel vuoto, è costante e pari a 299.792.458 m/s.[1]  Tale valore è abitualmente indicato con la lettera c, dal latino celeritas, velocità (P. Drude, 1894). Per eseguire in modo più rapido i calcoli, utilizzeremo il valore approssimato di 3*10⁸ m/s. È utile ricordare la relazione che lega velocità, lunghezza d’onda e frequenza delle onde elettromagnetiche. La velocità di propagazione di un’onda è uguale al prodotto della frequenza per la lunghezza d’onda, c = lf  ovvero 3*10⁸ m/s (equivalentemente f = c/l). [2]

 Un’onda elettromagnetica la cui lunghezza è di 1 m corrisponde, con buona approssimazione, ad una frequenza di 3*10⁸ Hz (cicli/s) e, naturalmente, ad ogni ordine di grandezza superiore o inferiore al metro nella lunghezza d’onda corrisponde un ordine inferiore o superiore nella frequenza (ad una lunghezza d’onda di 10 m corrisponde una frequenza di 3*10⁷ Hz mentre ad una lunghezza d’onda di 0,1 m corrisponde una frequenza di 3*10⁹ Hz).

 Non ci dobbiamo certo stupire se quello delle onde elettromagnetiche è stato un argomento molto dibattuto. Grazie ad esse ci scaldiamo, ci abbronziamo, riusciamo a vedere tutte le cose che ci circondano, ascoltiamo anche la radio, guardiamo la televisione e, soprattutto, è possibile la vita. [3]

 È indubbio poi che apprezziamo gli effetti della forza elettromagnetica per una ragione particolare: il suo raggio d’azione si estende all’infinito (pur diminuendo di intensità con il quadrato della distanza). Questa peculiarità fa sì che la forza elettromagnetica svolga un ruolo determinante non solo per il nostro pianeta, ma in tutto l’universo perché i fotoni sono il mezzo attraverso il quale viaggia praticamente tutta l’informazione del cosmo; l’informazione relativa ad un evento non si trasmette dunque istantaneamente in tutto l’universo.

 Ipotizziamo di osservare, con un telescopio, il momento esatto dell’accensione di una lampadina sulla superficie della Luna. Dal momento della sua reale accensione trascorreranno circa 1,27 secondi prima di poter osservare l’evento sulla Terra. È questo il tempo che la luce, con una velocità di 300.000 km/s impiega a percorrere i circa 380.000 km che separano la Luna dalla Terra. [4]   La luce, che in un secondo compie circa 7,5 volte il giro della Terra a livello dell’equatore o percorre 629 volte la distanza Milano-Roma, impiega ben 100.000 anni per attraversare da un estremo all’altro la nostra galassia.

  La luce ha una caratteristica unica che sembra contraddire quello che possiamo verificare intuitivamente: la composizione delle velocità (relatività galileiana). [5]

 Abbiamo quotidianamente consapevolezza di composizione delle velocità per sistemi in moto rettilineo uniforme. La nostra esperienza ci permette di affermare che se un treno si muove a 30 km/h e un carrello posto in una carrozza è spinto a 20 km/h nella direzione del moto, esso si muoverà (rispetto alla banchina) a una velocità di 50 km/h; se lo si spingerà, invece, sempre con la stessa velocità, ma in direzione opposta al moto, esso si muoverà a 10 km/h (sempre rispetto alla banchina).

  L’accelerazione subita da un corpo è invece uguale per due sistemi di riferimento in moto rettilineo uniforme. Se un osservatore fermo rileva, ad intervalli regolari di 1 s, la velocità di un treno, che risulta essere rispettivamente di 50, 60 e 70 km/h, concluderà che l’accelerazione osservata è di 10 km/h. Un motociclista, che procede regolarmente ad una velocità di 30 km/h evidenzierà, per gli stessi intervalli di tempo, una velocità di 20, 30 e 40 km/h e concluderà, ugualmente, che il treno ha subito un’accelerazione di 10 km/h: il valore della velocità è diverso ma l’accelerazione è invariante!

  Il moto è anche relativo. Ne abbiamo una sensazione quando siamo su un treno e partiamo molto lentamente mentre sul binario accanto c’è un altro treno fermo in realtà, per qualche secondo, non riusciamo a capire quale dei due treni si sia mosso veramente. 

Oltre all’accelerazione abbiamo la sensazione che anche la massa non cambi nel confronto tra i due sistemi di riferimento; una ipotetica nostra valigia ci costringe allo stesso sforzo sia in stazione sia sul treno (sempre che questi non freni o acceleri all’improvviso) e non mettiamo in dubbio la relazione F = ma.

E per le onde? Sempre sul treno, che viaggia ad una velocità di 30 km/h, se un ragazzo prende un capo di una corda in mano mentre un altro ragazzo prende in mano l’altro capo; uno dei due ragazzi può imprimere alla corda semitesa, con un movimento veloce su e giù del braccio, un impulso, un’onda, che si trasmetterà con andamento sinusoidale (ipotizzando che non ci sia smorzamento) fino a raggiungere l’altro ragazzo. Per un osservatore posto sul treno l’onda così formata si sposterà lungo tutta la corda ad una velocità di 1 m/s (3,6 km/h) mentre, per un osservatore fermo posto sulla banchina, la sua propagazione sarà soggetta alla composizione delle velocità e risulterà essere di 33,6 km/h.

 Più complessa è la questione relativa alle onde sonore che si propagano nell’aria e rispettano anch’esse la composizione delle velocità, nel senso che una onda sonora risente del fatto di passare da una zona senza vento ad una con il vento (e, in questo ultimo caso, la velocità del suono si somma o si sottrae a quella della corrente d’aria e, naturalmente, maggiore nel caso di sopravento e minore nel caso di sottovento); proprio per questo la velocità di propagazione delle onde sonore fa riferimento considerando l’aria (il mezzo di propagazione) nello stato di quiete.

  Una banda che suoni su una carrozza scoperta del treno produrrà effetti diversi per il direttore d’orchestra solidale con la banda rispetto ad un altro fermo sulla banchina.

  La velocità di propagazione dell’onda sonora sarà la stessa per entrambi i direttori ma, quello fermo in stazione, rileverà un cambiamento apparente della frequenza (della lunghezza d’onda) nel segnale percepito apprezzando una variazione nella tonalità del suono. Con un esempio più vicino al nostro quotidiano si può affermare che il suono di una sirena posta su un’autovettura in avvicinamento è sempre uguale per l’autista che ne è alla guida (perché è solidale col sistema di riferimento), ma appare diverso a un passante, con un effetto tanto più evidente quanto l’autovettura è più veloce e quanto gli è più vicino.[6]

  È interessante sottolineare come, di contro, nel passaggio tra due mezzi con diversa densità (es. aria e acqua), è la frequenza a rimanere inalterata mentre varia la velocità di propagazione – che è dunque diversa a seconda delle caratteristiche del mezzo – e, solitamente, è tanto più veloce quanto il mezzo è più denso (la velocità di propagazione delle onde sonore nell’aria è 344 m/s mentre, nel vetro, è oltre 15 volte maggiore).

  Si deve anche rilevare come non sia la velocità relativa tra sorgente e osservatore a determinare la variazione apparente della frequenza dell’onda sonora, ma la velocità della sorgente e/o dell’osservatore rispetto al mezzo di propagazione. È questo un fatto rilevante, come vedremo, nel caso in cui non sia necessario un mezzo di propagazione.

  La variazione apparente nella frequenza delle onde è un fatto noto col nome di effetto Doppler (C. A. Doppler, 1842) il quale evidenzia come la situazione, per le onde sonore, non sia simmetrica e si possa rilevare una differenza tra il caso in cui sia la sorgente oppure, di contro, l’osservatore ad essere in moto. [7]

  Anche per le onde luminose si riscontra l’effetto Doppler ma, in questo caso, poiché per le onde elettromagnetiche tutti i sistemi di riferimento sono equivalenti,  esso dipende solo dalla velocità relativa tra sorgente e osservatore (H. Fizeau 1848).

  Per semplicità, con le onde elettromagnetiche, possiamo considerare solo due casi. Nel primo la sorgente è in avvicinamento verso l’osservatore mentre, nel secondo, è in allontanamento. Se una sorgente emette una luce di colore giallo e risulta essere in allontanamento dall’osservatore questi percepirà una luce di colore rosso, dando luogo al cosiddetto fenomeno di redshift (spostamento verso il rosso) mentre, di contro, un osservatore in avvicinamento percepirà una luce di colore azzurro/blu dando luogo al fenomeno di blushift (spostamento verso il blu). [8]

  Se la sorgente si avvicina all’osservatore avremo una diminuzione della lunghezza d’onda (aumento della frequenza) a differenza di una sorgente che si allontana dove rileveremo un aumento della lunghezza d’onda (diminuzione della frequenza); partendo dalla variazione della lunghezza d’onda è possibile calcolare, in campo astronomico, la velocità di avvicinamento o di regressione delle galassie e delle stelle nonché la loro distanza. Se poi una galassia dovesse essere a forma di spirale in rotazione ne potremmo calcolare la velocità di rotazione considerando quella dei suoi bracci ovvero è possibile calcolare la velocità di rotazione delle stelle. [9]

  La propagazione delle onde elettromagnetiche è dunque alquanto differente rispetto alle onde sonore. In primo luogo la luce e le onde elettromagnetiche non necessitano di un mezzo di propagazione, fatto da non dar semplicemente per scontato e, in secondo luogo, non rispetta la legge della composizione delle velocità (si dice che non sono invarianti rispetto alle trasformazioni di Galileo). [10]

  Per cercare di spiegare questa anomalia è stato introdotto l’etere, un ipotetico mezzo di propagazione con singolari caratteristiche che permeerebbe tutto l’universo e grazie al quale avviene la propagazione delle onde elettromagnetiche proprio come rilevato sperimentalmente.

  E anche quando l’esperimento per comprovare l’esistenza dell’etere (A.  Michelson, E. Morley, 1882-1887) fallì in modo indiscutibile e confermò, di contro, che la velocità della luce è costante si modificarono le trasformazioni di coordinate tra i due sistemi di riferimento inerziali introducendo, ad esempio, un parametro di contrazione delle lunghezze nella direzione del moto pari a Ö(1-(v2/c2)) in modo da rendere possibile una adeguata misura dello spazio e del tempo quando l’oggetto è in moto uniforme rispetto all’osservatore (H. A. Lorentz, 1904).

  In questo modo tali trasformazioni sono ancora un tentativo di giustificare l’etere che, grazie al suo vento, deformerebbe i corpi, incluso lo strumento di misura, accorciandoli nella direzione del moto e, parallelamente, rallenterebbe il ritmo degli orologi alterando così il risultato della misurazione in modo tale da far apparire costante la velocità della luce mentre l’etere è immobile e permeante tutto l’universo…

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[1] La velocità della luce è uguale al reciproco della radice quadrata del prodotto tra la costante dielettrica del vuoto e la permeabilità magnetica del vuoto. Il valore della velocità della luce non è un parametro adimensionale e dipende perciò dal sistema metrico usato.
[2] Nelle formule il segno della moltiplicazione è omesso (es. ab = c ) o, in alternativa, è rappresentato dal segno asterisco “*”, (es. a*b = c) mentre i prefissi k (kilo), M (Mega) e G (Giga) indica,  rispettivamente, un fattore di 10³ , 10⁶ e 10⁹ .

  La frequenza può essere indicata con il simbolo dell’alfabeto greco “ν” (con pronuncia “ni” ma, in ambito scientifico la pronuncia è “nu”) oppure con la lettera “f” (effe) dell’alfabeto italiano; qui si è preferito quest’ultima per evitare confusione con la lettera “v” (vu), sempre dell’alfabeto italiano, utilizzata per indicare la velocità.

[3] La luce rappresenta solo una piccola frazione delle onde elettromagnetiche che, assieme alle onde radio, sono sicuramente quelle più famose. Lo spettro elettromagnetico comprende infatti una varietà di lunghezze d’onda che variano da quelle paragonabile ad un nucleo atomico (raggi gamma) alla distanza che separa Milano da Brescia (onde radio). La suddivisione dello spettro elettromagnetico nelle bande è puramente nominale giacché non esiste un confine reale fisico. Per le onde elettromagnetiche che hanno una lunghezze d’onda inferiori a 10^-12 m (>3*10²⁰ Hz) si hanno i raggi gamma, nelle lunghezze d’onda comprese tra 10^-11 m (3*10¹⁹ Hz) e 10^-9 m (3*10¹⁷ Hz) troviamo i raggi X; con una lunghezza d’onda tra 10^-8 m (3*10¹⁶ Hz) e 3,7*10^-7 m (8,1*10¹⁴ Hz) ci sono i raggi ultravioletti mentre nella piccola finestra compresa tra 4*10^-7 m (7,5*10¹⁴ Hz) e 7*10^-7 m (4,29*10¹⁴ Hz) c’è lo spettro della luce visibile (l’occhio umano è dunque sensibile ad una frazione di onde elettromagnetiche con una lunghezza d’onda inferiore al millesimo di millimetro e superiore al decimillesimo di millimetro). Da 7*10^-7 m (4,29*10¹⁴ Hz) a  10^-3 m (3*10¹¹ Hz) abbiamo i raggi infrarossi, tra  10^-2 m (3*10¹⁰ Hz) e 1 m (3*10⁸ Hz) le microonde e, infine, con una lunghezza d’onda di oltre 1  m (<3*10⁸ Hz) le onde radio. Le radioonde sono alla base di tutti i sistemi di telecomunicazioni (amatoriali e professionali). La banda delle radiofrequenze è quella convenzionalmente compresa tra 3*10³ e 3*10¹² Hz ovvero tra lunghezze d’onda tra 10⁵ m e 10^-4 m. Una radio sintonizzata sulla frequenza di 106 MHz cattura onde con una lunghezza di 2,8302 m; ad una frequenza di 106,1 MHz corrisponde invece una lunghezza d’onda di 2,8275 m con una differenza, tra le lunghezze d’onda corrispondenti alle due frequenze, di 0,267 cm. È questa una differenza “grande” per i sofisticati strumenti di ricerca ma più che sufficiente per i nostri comuni impianti hi-fi che possono ricevere le diverse canzoni di due stazioni emittenti concorrenti separate solo da 0,1 MHz .   

I raggi X sono noti perché applicati con successo alle radiografie per verificare l’integrità delle nostre ossa (ma non solo) e, assieme ai raggi g sono ricollegabili a fenomeni del mondo atomico o galattico mentre i raggi a e i raggi b non sono onde nel senso stretto del termine essendo i primi formati da aggregati di due neutroni e due protoni – cioè dal nucleo dell’elio – e i secondi da elettroni.

[4] Similmente, se dovessimo osservare dalla superficie del Sole i pianeti  vedremmo ciò che è già accaduto da circa  3' 13" per Mercurio, 6' per Venere (la sua istanza media  è di 108.000.000 km ), 8' 19" per la Terra,  13' 40" per Marte, 43' 15" per Giove,  79' 17" per Saturno, 159' 27" per Urano,  259' 50" per Nettuno e, infine,   328' 8" per Plutone . Un evento osservato sulla stella a noi più vicina dopo il Sole, Proxima Centauri, è accaduto oltre quattro anni fa. E la partenza dalla Terra di una ipotetica nave spaziale con una velocità costante di 10.000 m/s (circa 30.000 volte più lenta della luce) arriverebbe a destinazione su Proxima Centauri tra quasi 127.000 anni. 

[5] Più in generale dall’osservazione intuitiva degli eventi con due sistemi di riferimento in moto rettilineo uniforme il tempo risulta essere assoluto (una volta sincronizzati gli orologi) così come anche la massa dei corpi non cambia mentre, di contro, la velocità subisce una variazione ed è, pertanto, relativa.

[6] Per inciso, in tempo di guerra, il fatto di sentire la variazione del tono del fischio del lancio di una bomba fino a sentirne lo scoppio significava non essere colpiti perché era passata oltre, così mi diceva mio nonno Andrea Battista!

[7] Nota con esempi  di calcolo disponibile su richiesta.

[8]  Nota con esempi  di calcolo disponibili su richiesta. 

[9] Nota con esempi  di calcolo disponibili su richiesta.

[10] Anche la forza agente su una particella carica in moto rettilineo uniforme non è invariante per un sistema in quiete giacché una carica in moto genera una forza magnetica distinguendosi, per questo, da un sistema in quiete.