La Relatività Ristretta (o Speciale)

La luce e le onde elettromagnetiche più in generale hanno caratteristiche davvero controintuitive; da un lato la loro energia può essere acquistata o ceduta solo in pacchetti discreti, i quanti e, dall’altro, la costanza della sua velocità di propagazione ha fatto ipotizzare l’esistenza dell’etere lumi-nifero. Proprio il tentativo sperimen-tale di dimostrare l’esistenza di quest’ultimo avvalorerà l’esatto contrario. Non sono dunque le straordinarie proprietà di questo mezzo che dovrebbe permeare tutto l’universo a deformare gli strumenti di misura così da avere uno spazio e un tempo assoluti (in modo da riconciliare leggi della meccanica e legge dell’elettromagnetismo) per giustificare l’apparente costanza della velocità della luce ma è la reale costanza della velocità della luce che fa cambiare la concezione dello spazio-tempo giacché, su di essa, non è possibile applicare la legge della composizione delle velocità.

  In particolare, in un sistema inerziale, che si muove cioè di moto rettilineo uniforme con velocità costante lungo una linea retta (non accelerando e non ruotando) rispetto ad uno fermo, non esistono un tempo e uno spazio assoluto proprio perché se è la velocità della luce ad essere sempre costante dovranno essere relative le dimensioni dello spazio e del tempo; la variabile temporale cambia in due sistemi di riferimento in moto relativo rettilineo uniforme e un orologio in moto rispetto a un osservatore fermo rallenta.

  La scelta di inquadrare in un unico schema l’invarianza meccanica e la costanza della velocità della luce porta, per i sistemi in moto rettilineo uniforme l’uno rispetto all’altro, alla teoria della relatività ristretta (A. Einstein, 1905). [1]

  Le proprietà delle leggi della meccanica e leggi dell’elettromagnetismo sono rese compatibili attraverso una drastica revisione dei concetti di spazio e di tempo assoluti. Mentre l’intuizione ci porterebbe a sostenere che il tempo è costante (assoluto) e la velocità è relativa (composizione delle velocità), si sviluppa, di contro, il concetto secondo il quale se la velocità della luce è costante allora il tempo deve essere relativo. Lo spazio, il tempo e la massa sono indissolubilmente legati e deformati dal moto. I corpi (i sistemi di riferimento) hanno un tempo, uno spazio e una massa propri dettati dalla velocità. Si assiste dunque ai fenomeni della dilatazione dei tempi, della contrazione delle lunghezze e dell’aumento della massa.

  Due eventi possono essere simultanei per un osservatore ma non per un altro che si muove di moto rettilineo uniforme rispetto al primo. Gli eventi non sono simultanei per tutti gli osservatori in moto rettilineo uniforme perché non si trasmettono a velocità infinita.

  La durata di un fenomeno misurato da un sistema di riferimento in movimento rispetto ad uno in quiete risulta essere maggiore ovvero, per osservatori esterni ai sistemi in moto, il tempo si dilata. Posta v la velocità di uno corpo, il tempo risulterà essere aumentato approssimativamente di 1/Ö(1-(v2/c2)) volte. [2]

   Similmente, la misura della lunghezza di un oggetto in movimento è minore del valore misurato di quando è in quiete. La contrazione è approssimativamente di 1*Ö(1-(v2/c2)) volte.

  E la massa? La massa aumenta con la velocità secondo la relazione 1/Ö(1-(v2/c2)). Mentre l’azione di una forza costante agente su una massa produce, secondo la meccanica classica, un aumento indefinito della velocità, secondo la teoria della relatività ristretta aumenta indefinitamente la quantità di moto, con la velocità che aumenterà di poco essendo la massa a poter crescere indefinitamente al tendere della velocità al valore della velocità della luce: nel mondo subatomico questo concetto trova profonda applicazione con gli acceleratori di particelle.

  Un sistema molto semplice per ottenere il coefficiente da applicare per la variazione della lunghezza, del tempo o della massa in funzione della velocità è quello porre la velocità della luce come uguale a 1 ed indicare la velocità del corpo in rapporto ad essa; è infatti agevole verificare che la massa aumenta di 1/Ö1-0,99² = 7,089 volte ad una velocità pari al 99% della luce ovvero la lunghezza si riduce a 1Ö(1-0,99498² = 0,01 – cioè un decimo del valore originale – ad una velocità del 99,498%  la velocità della luce.

  Similmente, sempre per un osservatore esterno, quando la velocità del corpo è  l’87% della velocità della luce, la sua massa raddoppia rispetto alla massa a riposo così come raddoppia il tempo (la durata del fenomeno) mentre la lunghezza si contrae dimezzandosi.

  Ancora, il tempo si dilata di 1/Ö(1-(0,9998)2)= 50 volte se la velocità è il 99,98% di quella della luce. In effetti i muoni, particelle che si formano nella parte alta dell’atmosfera, tra i 30.000 e i 20.000 metri di altezza, a seguito del decadimento di particelle formatesi dalla collisione dei raggi cosmici con gli atomi dell’atmosfera, potrebbero percorrere, ad una velocità prossima a quella della luce e con una vita media inferiore ai 2 microsecondi, circa 600 metri (3*10⁸ m/s*0,9998*2*10^-8 s). Ma proprio perché viaggiano ad una velocità pari al 99,98% di quella della luce la loro vita ci appare, invece, più lunga di 50 volte permettendogli così di percorrere uno spazio anche superiore ai 30 chilometri per giungere fino alla superficie terrestre.

  È divertente verificare gli effetti della variazione della velocità sul tempo, sulla contrazione delle lunghezze e sull’aumento della massa con queste semplici formule. [3]

  Collegato direttamente alla teoria della relatività ristretta, perché usa lo stesso fattore di dilatazione caratteristico dei riferimenti in moto con velocità v (trasformazioni di Lorentz), ma pubblicato qualche mese dopo, è la relazione che lega massa e energia o, meglio, l’affermazione secondo la quale l’inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia: l’energia possiede una propria inerzia? [4]

  Se a un corpo immobile si cede energia senza alterare il suo stato di quiete la sua massa aumenta e, di contro, se si assorbe energia dal corpo la sua massa diminuisce. In termini più formali si afferma che se un corpo emette (o assorbe) energia E sottoforma di radiazione la sua massa diminuisce (o aumenta) di E/c2 e vale la relazione Δm =ΔE/c2. [5]

  Ma ciò significa che:

E =  mc2

  Si stabilisce dunque l’equivalenza tra massa ed energia – l’inerzia dell’energia – attraverso l’equazione probabilmente più famosa in tutta la storia della fisica.

  Noi siamo abituati a definire l’energia come attitudine al lavoro e la quantifichiamo attraverso una variazione, uno spostamento, nello spazio. In generale, se applichiamo una forza ad un corpo che subisce una variazione nella sua velocità, significa che esso è soggetto ad una accelerazione e se la forza applicata produce un modo uniformemente accelerato la forza può essere descritta come energia cinetica (secondo l’equazione ½ mv2). [6]

  Con apposita descrizione nel caso di velocità relativistiche e con una equazione che vale per tutti i corpi, indipendentemente dalla loro velocità, si ottiene:

E = mc2/Ö(1-(v2/c2)

  Posto come uguale a 1 la velocità della luce ed esprimendo v in funzione di essa la relazione si semplifica ulteriormente. [7]

  Ad esempio con una velocità pari all’87% della velocità della luce si ottiene:

E = mc²/Ö(1- 0,87²)

  Con la massa espressa in kg e la velocità della luce in m/s l’energia risulta espressa in joule. Un corpo della massa di un grammo e tale velocità avrà una energia di poco inferiore a 1,82*10¹⁴ J.

  Possiamo ora chiederci quanta energia (quanto lavoro) serve per ottenere un aumento della massa variando la velocità del corpo. Imponendo una velocità del corpo uguale a quella della luce risulta necessaria una quantità infinita di lavoro (energia); con un valore della massa pari a zero il risultato dell’equazione sarà sempre zero indipendentemente dal valore della velocità mentre, di contro, inserendo un valore della velocità pari a zero, ma un qualsiasi valore per la massa otterremo sempre, come risultato, un valore molto alto.

  Ipotizzando dunque un corpo con velocità zero e una massa di 1 g il risultato è un valore di energia di 9*10¹³ J (0,001 kg * (3*10⁸)² che è superiore a tutta l’energia sviluppata con la bomba atomica di Hiroshima mentre, con un chilogrammo di materia, si coprirebbe il fabbisogno energetico mensile dell’Italia o, ancora, con 23.800 kg, l’equivalente della massa di 24 autovetture Fiat Panda, si potrebbe produrre tutta l’energia di cui l’umanità necessita dagli alimenti per sopravvivere nei prossimi 100 anni (considerando un fabbisogno energetico procapite di 2.000 kcal al giorno e una popolazione di 7 miliardi di persone). [8]  

  Più in generale, possiamo correlare massa ed energia distinguendo quattro casi. Se il corpo è fermo la sua energia sarà dettata completamente dalla sua massa; anche nel caso in cui il corpo ha una grande massa e una velocità ridotta (un uomo che corre, ma anche un aeroplano che vola) la sua energia è dovuta quasi esclusivamente alla sua massa mentre, nel caso in cui la massa del corpo sia infinitesimale e la sua velocità sia prossima a quella della luce l’energia sarà praticamente tutta dovuta alla sua velocità; nell’ultimo caso, in cui il corpo o, meglio, la particella, è privo/a di massa, come il fotone, sarà, proprio per questo, costretto/a a viaggiare alla velocità… della luce!

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[1] La traduzione dell’articolo apparso ne Annalen der Physik è Sull’elettrodinamica dei corpi in movimento.

[2] È chiaro che il rapporto v² /c² fa risultare impercettibile, per i nostri sensi, anche un aumento del tempo con velocità di 1.080 km/ora, che è solo lo 0,0001% della velocità della luce (che è circa 1,08 Miliardi km/ora).

[3] La reciprocità degli effetti della contrazione delle lunghezze e della dilatazione dei tempi per due osservatori l’uno in moto rettilineo uniforme rispetto l’altro sarà trattata nel post Il paradosso dei gemelli.

[4] La traduzione dell’articolo apparso ne Annalen der Physik è L’inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia?

[5] La massa di un corpo è una misura per il suo contenuto di energia; se varia l’energia varia anche la massa: la radiazione trasporta inerzia tra il corpo emittente e quello assorbe.

[6] Adeguando la formula a = F/m e E = ½ mv² con la velocità della luce si ottiene a = (F/m)*(1-(v²/c²))^3/2 e si dimostra che nulla può andare più veloce della luce perché quando v = c, a = 0:  una volta che si è raggiunta la velocità della luce non si guadagna più altra velocità nemmeno se continuiamo a fornire una ulteriore spinta al nostro oggetto! Anche la formula del lavoro L= ½ mv²  deve tenere in considerazione la velocità della luce diventando L = (mc²/√1-(v²/c²))-mc²; quando v = c, L = ∞. E se il lavoro contribuisce a dare al corpo più inerzia, allora l’inerzia deve contenere energia. Questa energia è descritta dalla formula E = (mc²/√1-(v²/c²). Poiché L = (mc²/√1-(v²/c²))-mc², si ricava che E = L + mc² e anche quando L = 0 il corpo avrà ancora un’energia pari a E = mc²!

[7] Usualmente si pone β = v/c e la formula diventa E = mc²/Ö(1- β2)

[8] Eseguendo i calcoli si ottiene un valore di 2,14*10²¹ joule o, equivalentemente, 5,12*10¹⁷ kcal. La fissione di un atomo dell’Uranio U-235 (²³⁵U), cioè il decadimento dello stesso in un atomo di Bario e di un atomo di Krypton,  produce una energia di 3,2*10^-11 J. La fissione invece di un grammo di ²³⁵U produce una energia di 8*10¹⁰ J che è circa 1000 volte inferiore a quello che si avrebbe convertendo completamente un grammo di materia in energia (servirebbe cioè la fissione di 1 kg di uranio per produrre l’energia equivalente alla conversione  1 g di materia): ciò significa, sostanzialmente, che nel processo di fissione solo 1/1000 della massa iniziale si è trasformata in energia mentre il rimanente si ritrova nella massa dei prodotti finali di decadimento.   

La luce e le onde elettromagnetiche

In questo post troverete qualche formula. L'invito è quello di provare ad applicarle per eseguire dei calcoli, magari con l'aiuto di un foglio Excel (e se la cosa è difficoltosa è meglio spezzarla in più parti svolgendo prima tutto quello che è al numeratore, poi tutto quello che è al denominatore e, una volta ottenuti i due risultati, proseguire con la divisione). Le note a piè pagina contrassegnate dai numeri 7, 8 e 9 sono disponibili su richiesta così da non appesantire eccessivamente la lettura. 
  

  La luce è stata argomento di vivaci discussioni sia nel mondo dei filosofi sia in quello dei fisici. Nel XVII secolo all’ipotesi della sua natura corpuscolare (I. Newton, 1666) si contrappone quella ondulatoria (C. Huygens, 1678), che meglio spiega il fenomeno della rifrazione.

  Facendo passare la luce bianca attraverso un prisma di vetro – evidenziando cioè il fenomeno dell’arcobaleno – si è scomposta la luce bianca nei colori che la compongono partendo dal violetto, con lunghezza d’onda più corta e terminare con il rosso, con lunghezza d’onda più grande (I. Newton 1672).

  Due famosi esperimenti confermano come propri della luce il fenomeno dell’interferenza (T. Young, 1801) e della diffrazione (A.J. Fresnel, 1818) assegnandogli così definitivamente una natura di tipo ondulatorio.

 Più in generale è stata sviluppata la teoria portante sulla propagazione della luce e delle onde elettromagnetiche; la forza elettrica e la forza magnetica sono, appunto, diversi aspetti di un’unica forza, la forza elettromagnetica (J.C. Maxwell, 1873), che è stata verificata sperimentalmente (H. R. Hertz, 1888).

  La velocità di queste onde nel vuoto risulta essere finita, come ipotizzato quasi due secoli prima (O.C. Römer, 1675), e uguale a quella della luce che, sempre nel vuoto, è costante e pari a 299.792.458 m/s.[1]  Tale valore è abitualmente indicato con la lettera c, dal latino celeritas, velocità (P. Drude, 1894). Per eseguire in modo più rapido i calcoli, utilizzeremo il valore approssimato di 3*10⁸ m/s. È utile ricordare la relazione che lega velocità, lunghezza d’onda e frequenza delle onde elettromagnetiche. La velocità di propagazione di un’onda è uguale al prodotto della frequenza per la lunghezza d’onda, c = lf  ovvero 3*10⁸ m/s (equivalentemente f = c/l). [2]

 Un’onda elettromagnetica la cui lunghezza è di 1 m corrisponde, con buona approssimazione, ad una frequenza di 3*10⁸ Hz (cicli/s) e, naturalmente, ad ogni ordine di grandezza superiore o inferiore al metro nella lunghezza d’onda corrisponde un ordine inferiore o superiore nella frequenza (ad una lunghezza d’onda di 10 m corrisponde una frequenza di 3*10⁷ Hz mentre ad una lunghezza d’onda di 0,1 m corrisponde una frequenza di 3*10⁹ Hz).

 Non ci dobbiamo certo stupire se quello delle onde elettromagnetiche è stato un argomento molto dibattuto. Grazie ad esse ci scaldiamo, ci abbronziamo, riusciamo a vedere tutte le cose che ci circondano, ascoltiamo anche la radio, guardiamo la televisione e, soprattutto, è possibile la vita. [3]

 È indubbio poi che apprezziamo gli effetti della forza elettromagnetica per una ragione particolare: il suo raggio d’azione si estende all’infinito (pur diminuendo di intensità con il quadrato della distanza). Questa peculiarità fa sì che la forza elettromagnetica svolga un ruolo determinante non solo per il nostro pianeta, ma in tutto l’universo perché i fotoni sono il mezzo attraverso il quale viaggia praticamente tutta l’informazione del cosmo; l’informazione relativa ad un evento non si trasmette dunque istantaneamente in tutto l’universo.

 Ipotizziamo di osservare, con un telescopio, il momento esatto dell’accensione di una lampadina sulla superficie della Luna. Dal momento della sua reale accensione trascorreranno circa 1,27 secondi prima di poter osservare l’evento sulla Terra. È questo il tempo che la luce, con una velocità di 300.000 km/s impiega a percorrere i circa 380.000 km che separano la Luna dalla Terra. [4]   La luce, che in un secondo compie circa 7,5 volte il giro della Terra a livello dell’equatore o percorre 629 volte la distanza Milano-Roma, impiega ben 100.000 anni per attraversare da un estremo all’altro la nostra galassia.

  La luce ha una caratteristica unica che sembra contraddire quello che possiamo verificare intuitivamente: la composizione delle velocità (relatività galileiana). [5]

 Abbiamo quotidianamente consapevolezza di composizione delle velocità per sistemi in moto rettilineo uniforme. La nostra esperienza ci permette di affermare che se un treno si muove a 30 km/h e un carrello posto in una carrozza è spinto a 20 km/h nella direzione del moto, esso si muoverà (rispetto alla banchina) a una velocità di 50 km/h; se lo si spingerà, invece, sempre con la stessa velocità, ma in direzione opposta al moto, esso si muoverà a 10 km/h (sempre rispetto alla banchina).

  L’accelerazione subita da un corpo è invece uguale per due sistemi di riferimento in moto rettilineo uniforme. Se un osservatore fermo rileva, ad intervalli regolari di 1 s, la velocità di un treno, che risulta essere rispettivamente di 50, 60 e 70 km/h, concluderà che l’accelerazione osservata è di 10 km/h. Un motociclista, che procede regolarmente ad una velocità di 30 km/h evidenzierà, per gli stessi intervalli di tempo, una velocità di 20, 30 e 40 km/h e concluderà, ugualmente, che il treno ha subito un’accelerazione di 10 km/h: il valore della velocità è diverso ma l’accelerazione è invariante!

  Il moto è anche relativo. Ne abbiamo una sensazione quando siamo su un treno e partiamo molto lentamente mentre sul binario accanto c’è un altro treno fermo in realtà, per qualche secondo, non riusciamo a capire quale dei due treni si sia mosso veramente. 

Oltre all’accelerazione abbiamo la sensazione che anche la massa non cambi nel confronto tra i due sistemi di riferimento; una ipotetica nostra valigia ci costringe allo stesso sforzo sia in stazione sia sul treno (sempre che questi non freni o acceleri all’improvviso) e non mettiamo in dubbio la relazione F = ma.

E per le onde? Sempre sul treno, che viaggia ad una velocità di 30 km/h, se un ragazzo prende un capo di una corda in mano mentre un altro ragazzo prende in mano l’altro capo; uno dei due ragazzi può imprimere alla corda semitesa, con un movimento veloce su e giù del braccio, un impulso, un’onda, che si trasmetterà con andamento sinusoidale (ipotizzando che non ci sia smorzamento) fino a raggiungere l’altro ragazzo. Per un osservatore posto sul treno l’onda così formata si sposterà lungo tutta la corda ad una velocità di 1 m/s (3,6 km/h) mentre, per un osservatore fermo posto sulla banchina, la sua propagazione sarà soggetta alla composizione delle velocità e risulterà essere di 33,6 km/h.

 Più complessa è la questione relativa alle onde sonore che si propagano nell’aria e rispettano anch’esse la composizione delle velocità, nel senso che una onda sonora risente del fatto di passare da una zona senza vento ad una con il vento (e, in questo ultimo caso, la velocità del suono si somma o si sottrae a quella della corrente d’aria e, naturalmente, maggiore nel caso di sopravento e minore nel caso di sottovento); proprio per questo la velocità di propagazione delle onde sonore fa riferimento considerando l’aria (il mezzo di propagazione) nello stato di quiete.

  Una banda che suoni su una carrozza scoperta del treno produrrà effetti diversi per il direttore d’orchestra solidale con la banda rispetto ad un altro fermo sulla banchina.

  La velocità di propagazione dell’onda sonora sarà la stessa per entrambi i direttori ma, quello fermo in stazione, rileverà un cambiamento apparente della frequenza (della lunghezza d’onda) nel segnale percepito apprezzando una variazione nella tonalità del suono. Con un esempio più vicino al nostro quotidiano si può affermare che il suono di una sirena posta su un’autovettura in avvicinamento è sempre uguale per l’autista che ne è alla guida (perché è solidale col sistema di riferimento), ma appare diverso a un passante, con un effetto tanto più evidente quanto l’autovettura è più veloce e quanto gli è più vicino.[6]

  È interessante sottolineare come, di contro, nel passaggio tra due mezzi con diversa densità (es. aria e acqua), è la frequenza a rimanere inalterata mentre varia la velocità di propagazione – che è dunque diversa a seconda delle caratteristiche del mezzo – e, solitamente, è tanto più veloce quanto il mezzo è più denso (la velocità di propagazione delle onde sonore nell’aria è 344 m/s mentre, nel vetro, è oltre 15 volte maggiore).

  Si deve anche rilevare come non sia la velocità relativa tra sorgente e osservatore a determinare la variazione apparente della frequenza dell’onda sonora, ma la velocità della sorgente e/o dell’osservatore rispetto al mezzo di propagazione. È questo un fatto rilevante, come vedremo, nel caso in cui non sia necessario un mezzo di propagazione.

  La variazione apparente nella frequenza delle onde è un fatto noto col nome di effetto Doppler (C. A. Doppler, 1842) il quale evidenzia come la situazione, per le onde sonore, non sia simmetrica e si possa rilevare una differenza tra il caso in cui sia la sorgente oppure, di contro, l’osservatore ad essere in moto. [7]

  Anche per le onde luminose si riscontra l’effetto Doppler ma, in questo caso, poiché per le onde elettromagnetiche tutti i sistemi di riferimento sono equivalenti,  esso dipende solo dalla velocità relativa tra sorgente e osservatore (H. Fizeau 1848).

  Per semplicità, con le onde elettromagnetiche, possiamo considerare solo due casi. Nel primo la sorgente è in avvicinamento verso l’osservatore mentre, nel secondo, è in allontanamento. Se una sorgente emette una luce di colore giallo e risulta essere in allontanamento dall’osservatore questi percepirà una luce di colore rosso, dando luogo al cosiddetto fenomeno di redshift (spostamento verso il rosso) mentre, di contro, un osservatore in avvicinamento percepirà una luce di colore azzurro/blu dando luogo al fenomeno di blushift (spostamento verso il blu). [8]

  Se la sorgente si avvicina all’osservatore avremo una diminuzione della lunghezza d’onda (aumento della frequenza) a differenza di una sorgente che si allontana dove rileveremo un aumento della lunghezza d’onda (diminuzione della frequenza); partendo dalla variazione della lunghezza d’onda è possibile calcolare, in campo astronomico, la velocità di avvicinamento o di regressione delle galassie e delle stelle nonché la loro distanza. Se poi una galassia dovesse essere a forma di spirale in rotazione ne potremmo calcolare la velocità di rotazione considerando quella dei suoi bracci ovvero è possibile calcolare la velocità di rotazione delle stelle. [9]

  La propagazione delle onde elettromagnetiche è dunque alquanto differente rispetto alle onde sonore. In primo luogo la luce e le onde elettromagnetiche non necessitano di un mezzo di propagazione, fatto da non dar semplicemente per scontato e, in secondo luogo, non rispetta la legge della composizione delle velocità (si dice che non sono invarianti rispetto alle trasformazioni di Galileo). [10]

  Per cercare di spiegare questa anomalia è stato introdotto l’etere, un ipotetico mezzo di propagazione con singolari caratteristiche che permeerebbe tutto l’universo e grazie al quale avviene la propagazione delle onde elettromagnetiche proprio come rilevato sperimentalmente.

  E anche quando l’esperimento per comprovare l’esistenza dell’etere (A.  Michelson, E. Morley, 1882-1887) fallì in modo indiscutibile e confermò, di contro, che la velocità della luce è costante si modificarono le trasformazioni di coordinate tra i due sistemi di riferimento inerziali introducendo, ad esempio, un parametro di contrazione delle lunghezze nella direzione del moto pari a Ö(1-(v2/c2)) in modo da rendere possibile una adeguata misura dello spazio e del tempo quando l’oggetto è in moto uniforme rispetto all’osservatore (H. A. Lorentz, 1904).

  In questo modo tali trasformazioni sono ancora un tentativo di giustificare l’etere che, grazie al suo vento, deformerebbe i corpi, incluso lo strumento di misura, accorciandoli nella direzione del moto e, parallelamente, rallenterebbe il ritmo degli orologi alterando così il risultato della misurazione in modo tale da far apparire costante la velocità della luce mentre l’etere è immobile e permeante tutto l’universo…

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[1] La velocità della luce è uguale al reciproco della radice quadrata del prodotto tra la costante dielettrica del vuoto e la permeabilità magnetica del vuoto. Il valore della velocità della luce non è un parametro adimensionale e dipende perciò dal sistema metrico usato.
[2] Nelle formule il segno della moltiplicazione è omesso (es. ab = c ) o, in alternativa, è rappresentato dal segno asterisco “*”, (es. a*b = c) mentre i prefissi k (kilo), M (Mega) e G (Giga) indica,  rispettivamente, un fattore di 10³ , 10⁶ e 10⁹ .

  La frequenza può essere indicata con il simbolo dell’alfabeto greco “ν” (con pronuncia “ni” ma, in ambito scientifico la pronuncia è “nu”) oppure con la lettera “f” (effe) dell’alfabeto italiano; qui si è preferito quest’ultima per evitare confusione con la lettera “v” (vu), sempre dell’alfabeto italiano, utilizzata per indicare la velocità.

[3] La luce rappresenta solo una piccola frazione delle onde elettromagnetiche che, assieme alle onde radio, sono sicuramente quelle più famose. Lo spettro elettromagnetico comprende infatti una varietà di lunghezze d’onda che variano da quelle paragonabile ad un nucleo atomico (raggi gamma) alla distanza che separa Milano da Brescia (onde radio). La suddivisione dello spettro elettromagnetico nelle bande è puramente nominale giacché non esiste un confine reale fisico. Per le onde elettromagnetiche che hanno una lunghezze d’onda inferiori a 10^-12 m (>3*10²⁰ Hz) si hanno i raggi gamma, nelle lunghezze d’onda comprese tra 10^-11 m (3*10¹⁹ Hz) e 10^-9 m (3*10¹⁷ Hz) troviamo i raggi X; con una lunghezza d’onda tra 10^-8 m (3*10¹⁶ Hz) e 3,7*10^-7 m (8,1*10¹⁴ Hz) ci sono i raggi ultravioletti mentre nella piccola finestra compresa tra 4*10^-7 m (7,5*10¹⁴ Hz) e 7*10^-7 m (4,29*10¹⁴ Hz) c’è lo spettro della luce visibile (l’occhio umano è dunque sensibile ad una frazione di onde elettromagnetiche con una lunghezza d’onda inferiore al millesimo di millimetro e superiore al decimillesimo di millimetro). Da 7*10^-7 m (4,29*10¹⁴ Hz) a  10^-3 m (3*10¹¹ Hz) abbiamo i raggi infrarossi, tra  10^-2 m (3*10¹⁰ Hz) e 1 m (3*10⁸ Hz) le microonde e, infine, con una lunghezza d’onda di oltre 1  m (<3*10⁸ Hz) le onde radio. Le radioonde sono alla base di tutti i sistemi di telecomunicazioni (amatoriali e professionali). La banda delle radiofrequenze è quella convenzionalmente compresa tra 3*10³ e 3*10¹² Hz ovvero tra lunghezze d’onda tra 10⁵ m e 10^-4 m. Una radio sintonizzata sulla frequenza di 106 MHz cattura onde con una lunghezza di 2,8302 m; ad una frequenza di 106,1 MHz corrisponde invece una lunghezza d’onda di 2,8275 m con una differenza, tra le lunghezze d’onda corrispondenti alle due frequenze, di 0,267 cm. È questa una differenza “grande” per i sofisticati strumenti di ricerca ma più che sufficiente per i nostri comuni impianti hi-fi che possono ricevere le diverse canzoni di due stazioni emittenti concorrenti separate solo da 0,1 MHz .   

I raggi X sono noti perché applicati con successo alle radiografie per verificare l’integrità delle nostre ossa (ma non solo) e, assieme ai raggi g sono ricollegabili a fenomeni del mondo atomico o galattico mentre i raggi a e i raggi b non sono onde nel senso stretto del termine essendo i primi formati da aggregati di due neutroni e due protoni – cioè dal nucleo dell’elio – e i secondi da elettroni.

[4] Similmente, se dovessimo osservare dalla superficie del Sole i pianeti  vedremmo ciò che è già accaduto da circa  3' 13" per Mercurio, 6' per Venere (la sua istanza media  è di 108.000.000 km ), 8' 19" per la Terra,  13' 40" per Marte, 43' 15" per Giove,  79' 17" per Saturno, 159' 27" per Urano,  259' 50" per Nettuno e, infine,   328' 8" per Plutone . Un evento osservato sulla stella a noi più vicina dopo il Sole, Proxima Centauri, è accaduto oltre quattro anni fa. E la partenza dalla Terra di una ipotetica nave spaziale con una velocità costante di 10.000 m/s (circa 30.000 volte più lenta della luce) arriverebbe a destinazione su Proxima Centauri tra quasi 127.000 anni. 

[5] Più in generale dall’osservazione intuitiva degli eventi con due sistemi di riferimento in moto rettilineo uniforme il tempo risulta essere assoluto (una volta sincronizzati gli orologi) così come anche la massa dei corpi non cambia mentre, di contro, la velocità subisce una variazione ed è, pertanto, relativa.

[6] Per inciso, in tempo di guerra, il fatto di sentire la variazione del tono del fischio del lancio di una bomba fino a sentirne lo scoppio significava non essere colpiti perché era passata oltre, così mi diceva mio nonno Andrea Battista!

[7] Nota con esempi  di calcolo disponibile su richiesta.

[8]  Nota con esempi  di calcolo disponibili su richiesta. 

[9] Nota con esempi  di calcolo disponibili su richiesta.

[10] Anche la forza agente su una particella carica in moto rettilineo uniforme non è invariante per un sistema in quiete giacché una carica in moto genera una forza magnetica distinguendosi, per questo, da un sistema in quiete.