La Relatività Ristretta (o Speciale)

La luce e le onde elettromagnetiche più in generale hanno caratteristiche davvero controintuitive; da un lato la loro energia può essere acquistata o ceduta solo in pacchetti discreti, i quanti e, dall’altro, la costanza della sua velocità di propagazione ha fatto ipotizzare l’esistenza dell’etere lumi-nifero. Proprio il tentativo sperimen-tale di dimostrare l’esistenza di quest’ultimo avvalorerà l’esatto contrario. Non sono dunque le straordinarie proprietà di questo mezzo che dovrebbe permeare tutto l’universo a deformare gli strumenti di misura così da avere uno spazio e un tempo assoluti (in modo da riconciliare leggi della meccanica e legge dell’elettromagnetismo) per giustificare l’apparente costanza della velocità della luce ma è la reale costanza della velocità della luce che fa cambiare la concezione dello spazio-tempo giacché, su di essa, non è possibile applicare la legge della composizione delle velocità.

  In particolare, in un sistema inerziale, che si muove cioè di moto rettilineo uniforme con velocità costante lungo una linea retta (non accelerando e non ruotando) rispetto ad uno fermo, non esistono un tempo e uno spazio assoluto proprio perché se è la velocità della luce ad essere sempre costante dovranno essere relative le dimensioni dello spazio e del tempo; la variabile temporale cambia in due sistemi di riferimento in moto relativo rettilineo uniforme e un orologio in moto rispetto a un osservatore fermo rallenta.

  La scelta di inquadrare in un unico schema l’invarianza meccanica e la costanza della velocità della luce porta, per i sistemi in moto rettilineo uniforme l’uno rispetto all’altro, alla teoria della relatività ristretta (A. Einstein, 1905). [1]

  Le proprietà delle leggi della meccanica e leggi dell’elettromagnetismo sono rese compatibili attraverso una drastica revisione dei concetti di spazio e di tempo assoluti. Mentre l’intuizione ci porterebbe a sostenere che il tempo è costante (assoluto) e la velocità è relativa (composizione delle velocità), si sviluppa, di contro, il concetto secondo il quale se la velocità della luce è costante allora il tempo deve essere relativo. Lo spazio, il tempo e la massa sono indissolubilmente legati e deformati dal moto. I corpi (i sistemi di riferimento) hanno un tempo, uno spazio e una massa propri dettati dalla velocità. Si assiste dunque ai fenomeni della dilatazione dei tempi, della contrazione delle lunghezze e dell’aumento della massa.

  Due eventi possono essere simultanei per un osservatore ma non per un altro che si muove di moto rettilineo uniforme rispetto al primo. Gli eventi non sono simultanei per tutti gli osservatori in moto rettilineo uniforme perché non si trasmettono a velocità infinita.

  La durata di un fenomeno misurato da un sistema di riferimento in movimento rispetto ad uno in quiete risulta essere maggiore ovvero, per osservatori esterni ai sistemi in moto, il tempo si dilata. Posta v la velocità di uno corpo, il tempo risulterà essere aumentato approssimativamente di 1/Ö(1-(v2/c2)) volte. [2]

   Similmente, la misura della lunghezza di un oggetto in movimento è minore del valore misurato di quando è in quiete. La contrazione è approssimativamente di 1*Ö(1-(v2/c2)) volte.

  E la massa? La massa aumenta con la velocità secondo la relazione 1/Ö(1-(v2/c2)). Mentre l’azione di una forza costante agente su una massa produce, secondo la meccanica classica, un aumento indefinito della velocità, secondo la teoria della relatività ristretta aumenta indefinitamente la quantità di moto, con la velocità che aumenterà di poco essendo la massa a poter crescere indefinitamente al tendere della velocità al valore della velocità della luce: nel mondo subatomico questo concetto trova profonda applicazione con gli acceleratori di particelle.

  Un sistema molto semplice per ottenere il coefficiente da applicare per la variazione della lunghezza, del tempo o della massa in funzione della velocità è quello porre la velocità della luce come uguale a 1 ed indicare la velocità del corpo in rapporto ad essa; è infatti agevole verificare che la massa aumenta di 1/Ö1-0,99² = 7,089 volte ad una velocità pari al 99% della luce ovvero la lunghezza si riduce a 1Ö(1-0,99498² = 0,01 – cioè un decimo del valore originale – ad una velocità del 99,498%  la velocità della luce.

  Similmente, sempre per un osservatore esterno, quando la velocità del corpo è  l’87% della velocità della luce, la sua massa raddoppia rispetto alla massa a riposo così come raddoppia il tempo (la durata del fenomeno) mentre la lunghezza si contrae dimezzandosi.

  Ancora, il tempo si dilata di 1/Ö(1-(0,9998)2)= 50 volte se la velocità è il 99,98% di quella della luce. In effetti i muoni, particelle che si formano nella parte alta dell’atmosfera, tra i 30.000 e i 20.000 metri di altezza, a seguito del decadimento di particelle formatesi dalla collisione dei raggi cosmici con gli atomi dell’atmosfera, potrebbero percorrere, ad una velocità prossima a quella della luce e con una vita media inferiore ai 2 microsecondi, circa 600 metri (3*10⁸ m/s*0,9998*2*10^-8 s). Ma proprio perché viaggiano ad una velocità pari al 99,98% di quella della luce la loro vita ci appare, invece, più lunga di 50 volte permettendogli così di percorrere uno spazio anche superiore ai 30 chilometri per giungere fino alla superficie terrestre.

  È divertente verificare gli effetti della variazione della velocità sul tempo, sulla contrazione delle lunghezze e sull’aumento della massa con queste semplici formule. [3]

  Collegato direttamente alla teoria della relatività ristretta, perché usa lo stesso fattore di dilatazione caratteristico dei riferimenti in moto con velocità v (trasformazioni di Lorentz), ma pubblicato qualche mese dopo, è la relazione che lega massa e energia o, meglio, l’affermazione secondo la quale l’inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia: l’energia possiede una propria inerzia? [4]

  Se a un corpo immobile si cede energia senza alterare il suo stato di quiete la sua massa aumenta e, di contro, se si assorbe energia dal corpo la sua massa diminuisce. In termini più formali si afferma che se un corpo emette (o assorbe) energia E sottoforma di radiazione la sua massa diminuisce (o aumenta) di E/c2 e vale la relazione Δm =ΔE/c2. [5]

  Ma ciò significa che:

E =  mc2

  Si stabilisce dunque l’equivalenza tra massa ed energia – l’inerzia dell’energia – attraverso l’equazione probabilmente più famosa in tutta la storia della fisica.

  Noi siamo abituati a definire l’energia come attitudine al lavoro e la quantifichiamo attraverso una variazione, uno spostamento, nello spazio. In generale, se applichiamo una forza ad un corpo che subisce una variazione nella sua velocità, significa che esso è soggetto ad una accelerazione e se la forza applicata produce un modo uniformemente accelerato la forza può essere descritta come energia cinetica (secondo l’equazione ½ mv2). [6]

  Con apposita descrizione nel caso di velocità relativistiche e con una equazione che vale per tutti i corpi, indipendentemente dalla loro velocità, si ottiene:

E = mc2/Ö(1-(v2/c2)

  Posto come uguale a 1 la velocità della luce ed esprimendo v in funzione di essa la relazione si semplifica ulteriormente. [7]

  Ad esempio con una velocità pari all’87% della velocità della luce si ottiene:

E = mc²/Ö(1- 0,87²)

  Con la massa espressa in kg e la velocità della luce in m/s l’energia risulta espressa in joule. Un corpo della massa di un grammo e tale velocità avrà una energia di poco inferiore a 1,82*10¹⁴ J.

  Possiamo ora chiederci quanta energia (quanto lavoro) serve per ottenere un aumento della massa variando la velocità del corpo. Imponendo una velocità del corpo uguale a quella della luce risulta necessaria una quantità infinita di lavoro (energia); con un valore della massa pari a zero il risultato dell’equazione sarà sempre zero indipendentemente dal valore della velocità mentre, di contro, inserendo un valore della velocità pari a zero, ma un qualsiasi valore per la massa otterremo sempre, come risultato, un valore molto alto.

  Ipotizzando dunque un corpo con velocità zero e una massa di 1 g il risultato è un valore di energia di 9*10¹³ J (0,001 kg * (3*10⁸)² che è superiore a tutta l’energia sviluppata con la bomba atomica di Hiroshima mentre, con un chilogrammo di materia, si coprirebbe il fabbisogno energetico mensile dell’Italia o, ancora, con 23.800 kg, l’equivalente della massa di 24 autovetture Fiat Panda, si potrebbe produrre tutta l’energia di cui l’umanità necessita dagli alimenti per sopravvivere nei prossimi 100 anni (considerando un fabbisogno energetico procapite di 2.000 kcal al giorno e una popolazione di 7 miliardi di persone). [8]  

  Più in generale, possiamo correlare massa ed energia distinguendo quattro casi. Se il corpo è fermo la sua energia sarà dettata completamente dalla sua massa; anche nel caso in cui il corpo ha una grande massa e una velocità ridotta (un uomo che corre, ma anche un aeroplano che vola) la sua energia è dovuta quasi esclusivamente alla sua massa mentre, nel caso in cui la massa del corpo sia infinitesimale e la sua velocità sia prossima a quella della luce l’energia sarà praticamente tutta dovuta alla sua velocità; nell’ultimo caso, in cui il corpo o, meglio, la particella, è privo/a di massa, come il fotone, sarà, proprio per questo, costretto/a a viaggiare alla velocità… della luce!

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[1] La traduzione dell’articolo apparso ne Annalen der Physik è Sull’elettrodinamica dei corpi in movimento.

[2] È chiaro che il rapporto v² /c² fa risultare impercettibile, per i nostri sensi, anche un aumento del tempo con velocità di 1.080 km/ora, che è solo lo 0,0001% della velocità della luce (che è circa 1,08 Miliardi km/ora).

[3] La reciprocità degli effetti della contrazione delle lunghezze e della dilatazione dei tempi per due osservatori l’uno in moto rettilineo uniforme rispetto l’altro sarà trattata nel post Il paradosso dei gemelli.

[4] La traduzione dell’articolo apparso ne Annalen der Physik è L’inerzia di un corpo dipende dal suo contenuto di energia?

[5] La massa di un corpo è una misura per il suo contenuto di energia; se varia l’energia varia anche la massa: la radiazione trasporta inerzia tra il corpo emittente e quello assorbe.

[6] Adeguando la formula a = F/m e E = ½ mv² con la velocità della luce si ottiene a = (F/m)*(1-(v²/c²))^3/2 e si dimostra che nulla può andare più veloce della luce perché quando v = c, a = 0:  una volta che si è raggiunta la velocità della luce non si guadagna più altra velocità nemmeno se continuiamo a fornire una ulteriore spinta al nostro oggetto! Anche la formula del lavoro L= ½ mv²  deve tenere in considerazione la velocità della luce diventando L = (mc²/√1-(v²/c²))-mc²; quando v = c, L = ∞. E se il lavoro contribuisce a dare al corpo più inerzia, allora l’inerzia deve contenere energia. Questa energia è descritta dalla formula E = (mc²/√1-(v²/c²). Poiché L = (mc²/√1-(v²/c²))-mc², si ricava che E = L + mc² e anche quando L = 0 il corpo avrà ancora un’energia pari a E = mc²!

[7] Usualmente si pone β = v/c e la formula diventa E = mc²/Ö(1- β2)

[8] Eseguendo i calcoli si ottiene un valore di 2,14*10²¹ joule o, equivalentemente, 5,12*10¹⁷ kcal. La fissione di un atomo dell’Uranio U-235 (²³⁵U), cioè il decadimento dello stesso in un atomo di Bario e di un atomo di Krypton,  produce una energia di 3,2*10^-11 J. La fissione invece di un grammo di ²³⁵U produce una energia di 8*10¹⁰ J che è circa 1000 volte inferiore a quello che si avrebbe convertendo completamente un grammo di materia in energia (servirebbe cioè la fissione di 1 kg di uranio per produrre l’energia equivalente alla conversione  1 g di materia): ciò significa, sostanzialmente, che nel processo di fissione solo 1/1000 della massa iniziale si è trasformata in energia mentre il rimanente si ritrova nella massa dei prodotti finali di decadimento.